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第一章概率论的基本概念

1.写出下列随机试验的样本空间S:

(资料图片仅供参考)

(1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。

(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数

(3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次

品”,如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检

查的结果.

(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解(1)以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0，123，…，100n，

所以试验的样本空间为

s--i=0,1,2.…,100n)

(2)设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为S={10+

kk=0,1,2…}或写成S={10,11,12.….

(3)采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表

示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可

表示为

S=100.100.0100.0101.0110.1100.1010.1011.0111.1101.1110.1111.

(4)取一直角坐标系，则有S={(x)工+y<1，若取极坐标系，则有S

={(p0)p<10≤0<2元}。

2.设ABC为三个事件,用ABC的运算关系表示下列各事件:

(1)A发生,B与C不发生.

(2)A与B都发生，而C不发生

(3)ABC中至少有一个发生

(4)A,BC都发生。

(5)ABC都不发生.

(6)A,B,C中不多于一个发生

(7)ABC中不多于两个发生

(8)A,B,C中至少有两个发生

解以下分别用D(i=12…8)表示(1)(2).…(8)中所给出的事件，

注意到一个事件不发生即为它的对立事件发生，例如事件A不发生即为A

发生.

(1)A发生B与C不发生，表示ABC同时发生故D=ABC或写成D

=A-B-C.

(2)A与B都发生而C不发生，表示ABC同时发生，故D=ABC或写成

D₂=AB-C.

(3)由和事件的含义知，事件AUBUC即表示ABC中至少有一个发生，

故D=AUBUC

也可以这样考虑:事件“A，BC至少有一个发生"是事件“A，B.C都不发

生”的对立事件，因此，D=ABC

也可以这样考虑:事件“ABC中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一

个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，D又可写成

D=ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC

(4)D=ABC.

(5)D=ABC.

(6)“A,B,C中不多于一个发生”表示ABC都不发生或ABC中恰有

一个发生，因此，D=ABCUABCUABCUABC

又“A,B,C中不多于一个发生”表示“A，B，C中至少有两个不发生”，亦即

ABBCAC中至少有一个发生，因此又有D-ABUBCUCA

又“A,BC中不多于一个发生”是事件G=“ABC中至少有两个发生”的

对立事件而事件G可写成G=ABUBCUCA，因此又可将D。写成

D-ABUBCUCA=ABNBCNCA.

(7)“A,BC中不多于两个发生"表示ABC都不发生或ABC中恰有

一个发生或A,BC中恰有两个发生。因此，D=ABCUABCUABCUABCU

ABCUABCUABC又“ABC中不多于两个发生”表示ABC中至少有一个

不发生，亦即ABC中至少有一个发生，即有D-AUBUC

又“ABC中不多于两个发生"是事件“A，B，C三个都发生”的对立事件，

因此又有D=ABC.

(8)D=ABUBCUCA,也可写成D=ABCUABCUABCUABC

注意:i)两事件的差可用对立事件来表示，例如A-B-ABA-BC=

ABC.

(ii)易犯的错误是，误将AB与AB等同起来，事实上，AB-AUB≠AB，又

如ABC=AUBUC≠ABC.

(iii)误以为S=AUBUC事实上，S-AUBUC可能不等于∅，一般SDA

UBUC.

3.(1)设AB，C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=-,P(AB)=

P(BC)=0,P(AC)--求ABC至少有一个发生的概率。

(2)已知P(A)-点P(B)=号P(C)-言·P(AB)=1o·P(AC)=15

P(BC)=20P(ABC)=求AUB,ABAUBUC,ABCABC,ABUC 的

概率.

(3)已知P(A)=一(i)若A，B互不相容，求P(AB),(ii)若P(AB)=

求P(AB).

解(1)P(AUBUC)

=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

-8+P(ABC).

由ABCCAB,已知P(AB)=0，故0≤P(ABC)<P(AB)=0，得P(ABC)

=0.所求概率为P(AUBUC)-8

(2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)一号+号-10-1

P(B)=P(AUB)=1-P(AUB)-15

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)P(BC)+P(ABC)

计中人01

一2+号+号-10-15-20+30-00-20

P(ABC)-P(AUBUC)-1-P(AUBUC)-2

P(BC)=P(B(S-C))=P(AB-ABC)=P(AB)-P(ABC)

4316-97

15206060

记p=P(ABUC),由加法公式

p-P(B)+P(C)-P(BC)-5+--20

(3)(i)P(AB)=P(A(S-B))=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=

(ii)P(AB)=P(A(S-B))=P(A-AB)=P(A)-P(AB)

4.设AB是两个事件

(1)已知AB=AB，验证A=B

(2)验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)一

2P(AB).

解(1)假设AB=AB，故有(AB)U(AB)=(AB)U(AB),从而A(BUB)

=(AUA)B,即AS=SB，故有A=B

(2)AB恰好有一个发生的事件为ABUAB，其概率为

P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=P(A(S-B))+P(B(S-A))

=P(A-AB)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-2P(AB).

5.10片药片中有5片是安慰剂.

(1)从中任意抽取5片,求其中至少有2片是安慰剂的概率。

(2)从中每次取一片,作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率，

解(1)p=1-P(取到的5片药片均不是安慰剂)

-P(取到的5片药片中只有1片是安慰剂)

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